Exemplarische Berechnungen von PCR-Tests

Exemplarische Berechnungen negativer und positiver Vorhersagewerte bei vorgegebenen Sensitivtäts- und Spezifitätsraten und variierender Infektionsrate

Die Sensitivität eines Tests gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der dieser Test einen Infizierten auch als solchen identifiziert
Der positive Vorhersage-Wert gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein positiv Getesteter auch tatsächlich infiziert ist | Der hier zu den 100% aller positiv Getesteten fehlende Anteil wird Falsch-Positiv-Quote genannt | Die Falsch-Negativ-Getesteten sind hierbei nicht berücksichtigt
Die Spezifität eines Tests gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der dieser Test einen nicht Infizierten auch als solchen identifiziert
Der negative Vorhersage-Wert gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein negativ Getesteter auch tatsächlich nicht infiziert ist | Der hier zu den 100% aller negativ Getesteten fehlende Anteil wird Falsch-Negativ-Quote genannt | Die Falsch-Positiv-Getesteten sind hierbei nicht berücksichtigt

Fazit 1: Je höher die tatsächliche Infektionsrate, desto höher auch der positive Vorhersage-Wert | Noch wichtiger hierfür ist allerdings eine möglichst nahe an 100% liegende Spezifität [= mögl. geringe Falsch-Positiv-Quote] | Die Spezifität z.B. von 14 der momentan existierenden Anti-Körper-Tests liegt nach Prüfung unabhängiger Wissenschaftler im Ø jedoch nur bei 95% [z.B.: https://www.elektroniknet.de/markt-technik/kommunikation/antikoerper-tests-haben-ganz-klare-grenzen-176894.html]

Fazit 2: Sobald die Spezifität auch nur ein wenig abnimmt und somit die Falsch-Positiv-Quote stark steigt, hat dies drastische Auswirkungen auf den positiven Vorhersage-Wert – auch bei einer relativ hohen Infektionsrate | Dies liegt – Stand Ende 08.20 – in Deutschland jedoch lediglich bei 0,26%

Dieses letzte Setting, ebenfalls von einer Testpopulation von 100.000 ausgehend, kommt den in Deutschland momentan vorliegenden Sachverhalten am nächsten, wenn man eine aktuelle Infektionsrate von – gut gerechnet – 0,3% unterstellt und diese zwecks Berücksichtigung der Dunkelziffer mit dem Faktor 3,3 multipliziert, obwohl letztere laut offizieller Quellen für Deutschland lediglich bei Faktor 2 gesehen wird [Quelle: https://www.swr.de/swr2/wissen/so-hoch-ist- die-dunkelziffer-bei-covid-19-infektionen-100.html]

Fazit 3: Bei einer in Deutschland derzeit herrschenden Infektionsrate inkl. Dunkelziffer von höchstens 1% und einer Spezifität von höchstens 98% [s. Nachbemerkungen, 6.] liegt die Wahrscheinlichkeit, als positiv Getesteter tatsächlich infiziert zu sein, be nur einem Drittel | Somit besitzt der zugundeliegende PCR-Test weder statistisch und schon gar nicht diagnostisch irgendeine valide Aussagekraft | Lediglich die negativ Getesteten können weitestgehend sicher sein, tatsächlich nicht infiziert zu sein

Zum besseren Verständnis der Berechnungen:
Unterscheidung zwischen Theorie und Praxis
bei der Betrachtung analytischer Beispiele, die den Zusammenhang zwischen SE, SP und Infektionsrate sowie zwischen den Test-Gütekriterien und den Vorhersagewerten erhellen sollen:
Die theoretische Betrachtung setzt eine bestimmte Testpersonen-Anzahl [= Testpopulation] sowie eine bestimmte Infektionsrate als fix voraus, denn nur mit diesen Werten sind – in Verbindung mit den vorgegebenen SE- und SP-Raten – konkrete Anzahlen aller 4 daraus abzuleitenden Personengruppen zu ermitteln. Die Bestimmung des individuellen gesundheitlichen Status der einzelnen Testpersonen, vor allem der positiv Getesteten, ist nur unter Berücksichtigung bestimmter Wahrscheinlichkeiten, der Vorhersagewerte, also nicht eindeutig bzw. nicht zweifelsfrei möglich!
In der Praxis hingegen steht, neben den ebenfalls bereits fixen SE- und SP-Raten, [zu einem bestimmten Zeitpunkt] nur die Ʃ-Testpersonen-Anzahl fest, während die Infektionsrate ja erst durch die Testungsdurchführung selbst [annäherungsweise] zu ermitteln versucht wird
Um besser einschätzen zu können, was – außer der bei niedriger Infektionsrate immens hohen Test-Fehlerquote – bei der Diagnose ‚positiv‘ im Hinblick auf deren angemessene Einordnung noch alles zu berücksichtigen ist, verweise ich auf die Nachbemerkungen, im Besonderen auf die Punkte 2., 6., 7. und 8., sowie auf meinen Text ‚Vier entscheidende Wahrheiten über die PCR-Tests ‒ und damit die Infektionszahlen‘ auf mffmv.de

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Nachbemerkungen

1. Laut zahlreichen Quellen [z.B. https://www.youtube.com/watch?v=gct62mm3y1g || https://www.youtube.com/watch?v=gr0aThV8_Xk (bei 1:00)] sind PCR- und Anti-Körper-Tests zur Diagnostik nicht geeignet. Dennoch werden sie vom RKI nach wie vor dazu verwendet [Stand: Ende 06.20].

2. Sowohl Sensitivität als auch Spezifität sind Gütekriterien auch von Infektionstests, die lediglich den Status einer Infektion, nicht aber den eines Krankheitsausbruchs oder einer Krankheit selbst feststellen können – wenn überhaupt. Dennoch wird in zahlreichen Texten und Videos zur Erläuterung dieser Gütekriterien der Begriff der Prävalenz bemüht, obwohl dieser per Definition die Zahl der Erkrankten, nicht die der Infizierten ins Verhältnis zur Gesamtpopulation setzt.

3. Diese Begriffsnutzung führt – nicht allein hins. der Diskussion um die Validität von Tests – die schleichende Gleichsetzung von Erkrankten mit lediglich Infizierten ein, wie dies durch die entspr. Veröffentlichungen vieler Massenmedien unterschwellig immer wieder geschieht, und dramatisiert somit sukzessive sämtliche mit dem Wortstamm ‚Infekt-‚ bzw. ‚infiz-‚ zu bildenden Begriffe.

4. Von dieser groben Ungenauigkeit abgesehen, entspräche die im öffentlichen Diskurs transportierte Bedeutung der Infektionsrate, um die es, test-statistisch gesehen, statt der enorm überbetonten und zudem akkumulierten Ʃ-Infiziertenzahlen eigentlich ausschließlich gehen sollte, der Prävalenz zudem nur, sofern von der zu einem bestimmten Zeitpunkt erhobenen Infiziertenzahl die bis zu diesem Zeitpunkt Gestorbenen sowie die wieder ‚Genesenen‘ [s. hierzu 8.] subtrahiert würden. Eben dies wird von offizieller Seite in der Regel jedoch unterlassen, sodass über die somit steigende ‚Infiziertenzahlen‘ die in der Wahrnehmung vieler Nachrichtenrezipienten sich einstellende, präziser: die unausgesetzt insinuierte und schließlich subjektiv herbei interpretierte resultierende ‚Infektionszunahme‚ noch einmal wesentlich höher sowie – mit fortschreitender Pandemiedauer – gar kontinuierlich zunehmend höher erscheint – was jedoch spätestens seit der 2. März-Hälfte rein faktisch nicht mehr zutrifft.

5. Insofern setzt das RKI, die Charité etc. in öffentlichen Verlautbarungen, jedoch ohne dies zu benennen, die Infektionsrate sogar noch eher mit der Inzidenz gleich, die per Definition – abhängig vom gewählten Zeitraum, der üblicherweise jedoch sämtliche seit Pandemiebeginn Infizierten einbezieht – stets schlicht alle Neuerkrankungen aufaddiert und die seit Beginn des Erhebungszeitraums Gestorbenen und wieder Genesenen nicht subtrahiert. Allerdings ist auch die Inzidenz ein Maß hins. Neu-Erkrankungen, nicht aber Neu-Infektionen, was der breiten Öffentlichkeit wiederum nicht erklärt wird [s. 3. u. 7.].

6. Zitat Correctiv [Rolf Kaiser, Institut für Virologie, Universität Köln] bzgl. der positiven Vorhersage-Werte von PCR-Tests: Würden rein labortechnisch keine Fehler gemacht, „sind Fehlerquoten [also Falsch-Positiv-Quoten] von 30 – 50% nicht erklärbar.“ Noch konkreter behauptet Correctiv [Alexander Dalpke, Direktor am Institut für Medizinische Mikrobiologie und Hygiene, Technische Universität Dresden: „Uns sind bislang keine Fälle falsch positiver Befunde bekannt … die RT1-PCR sind hochspezifisch (Spezifität sicher im Bereich > 95/98%).“ Quellen: https://correctiv.org/faktencheck/medizin-und-gesundheit/2020/04/07/coronavirus-nein-aktuelle-pcr-tests-haben-keine-fehlerquote-von-30-bis-50-prozent || https://www.youtube.com/watch?v=gct62mm3y1g | Diese Aussage ist – angesichts der Beispielrechnungen – aus meiner Sicht nicht haltbar.

7. Im Gesamtzusammenhang ferner von zentraler Bedeutung: Immunität gegen einen bestimmten Erreger bedeutet nicht, dass der/die Immune sich mit diesem nicht mehr infizieren kann, sondern dass er an diesem nicht (mehr) erkrankt. Auch aus diesem Grund hat der Status der ‚Infiziertheit‚ bei Weitem nicht die Bedeutung, die ihm durch die Art der offiziellen Berichterstattung in der Regel verliehen wird.

8. Auch der – gerade in Zshg. mit den [Gesamt-] ‚Infiziertenzahlen‘ – von ‚offizieller‘ Seite sehr oft verwendete Begriff der ‚Genesenen‚ ist größtenteils irreführend, da unzutreffend; denn er unterstellt nicht nur, dass
A) sämtliche positiv Getesteten auch tatsächlich infiziert waren – was jedoch nur der Fall wäre, wenn die SE und vor allem die SP des entspr. Tests bei jeweils 100% lägen [Quoten, die keiner der Tests erfüllt {s. d)}] – und dass
B) sämtliche positiv Getesteten auch tatsächlich mir SARS-COV-2 infiziert waren – was wiederum keinesfalls zutrifft [s. b) sowie mein Text ‚Vier entscheidende Wahrheiten über die PCR-Tests ‒ und damit die Infektionszahlen‘], sondern vor allem, dass
C) alle positiv Getesteten damit automatisch auch Erkrankte‚ [gewesen] sind – andernfalls könnten sie kaum pauschal als [wieder] ‚Genesene‚ bezeichnet werden.
In Wahrheit ist bisher der weit überwiegende Teil der positiv Getesteten [ca. 75 – 80%] nie an SARS-CoV-2 erkrankt [gewesen], sondern entweder
a) an einem anderen Corona-Virus, von dem mind. 7 verschiedene Typen bekannt sind, die jedoch von den verwendeten Tests nicht ausgeschlossen werden können, oder
b) mit einem dieser anderen Corona-Viren zwar infiziert, aber nicht daran erkrankt [gewesen], oder
c) zwar mit SARS-CoV-2 infiziert, aber nicht daran erkrankt [gewesen] [s. 2. und 7.], oder aber
d) aufgrund der – zudem überaus hohen – Falsch-Positiv-Quote überhaupt nicht mit irgendeinem der Corona-Viren infiziert [bzw. nie gewesen] und bringt bzw. brachte daher nicht einmal die notwendige [wenn auch nicht hinreichende] Voraussetzung für eine Erkrankung mit – und schon gar nicht die für eine Genesung.

1 Reverse Transkriptasen (RT) sind enzymatisch wirksame Proteine, die als RNA-abhängige DNA-Polymerasen eine Transkription in umgekehrter Richtung (revers), nämlich von RNA in DNA katalysieren; damit kann genetische Information von RNA in DNA umgeschrieben werden. [Quelle: Wikipedia] |
Ein RT-PCR-Test kombiniert also die Methodiken der Reversen Transkriptasen mit der Polymerase-Kettenreaktion.

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Weitere präszisierende Hinweise zu Sensitivität und Spezifität sowie zu positiven und negativen Vorhersagewerten

Sowohl im Rahmen rein mathematisch-statistischer Betrachtungen als auch bei Durchführung einer realen Testung bilden sich, einerseits durch Berücksichtigung der Gütekriterien, andererseits durch die mathematisch automatisch resultierenden Vorhersagewerte, jeweils 4 unterschiedliche, in Prozentsätzen ausgedrückte Personengruppen heraus. Zwischen den Prozentsätzen der Gütekriterien und denen der Vorhersagewerte bestehen jedoch zentral wichtige Unterschiede, denn diese beziehen sich, z.T. auch innerhalb beider Kategorien, auf völlig unterschiedliche 100%-Größen.
Daher erscheint es hilfreich, den Begriff ‚Rate‚ fest jenen 4 Prozentsätzen – und damit jenen 4 dadurch erfassten Personengruppen – zuzuordnen, die sich auf die Gütekriterien beziehen, denn
a) ist der Begriff ‚Quote‚ in der [Populär-] Wissenschaft bereits den auf die Vorhersagewerte bezogenen Prozentsätzen zugeordnet, und
b) ist die Verwendung der Adjektive ‚richtig‘, ‚falsch‘, ‚positiv‘ und ’negativ‘ in beiden Kategorien unbedingt erforderlich, um die jeweils innerhalb dieser Kategorien sich bildenden Prozentsätze begrifflich präzise differenzieren zu können; eben dieser Umstand kann leicht zu Verwechslungen führen, weshalb die Verwendung der Begriffe ‚Rate‘ und ‚Quote‘ eine klare kategorielle Zuordnung ermöglicht. Rein von der Wortbedeutung her existiert freilich kein Unterschied zwischen diesen Begriffen.

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Sensitivität und Spezifität:
Test-Gütekriterien: Treffer- und Fehler-Raten hins. des realen Gesundheits- bzw. Infektionsstatus einer Testpopulation ohne Berücksichtigung der Infektionsrate

Diese Prozentsätze stehen bereits vor Testung fest und sind damit unabhängig von der Infektionsrate. Diese hat – auf Grundlage der Testpopulation und neben den Raten der Gütekriterien – jedoch entscheidenden Einfluss auf die 4 jeweils konkreten – vor allem aus der Richtig-Positiv– und der Falsch-PositivRate resultierenden – Test-Ergebnisse, also auf die absoluten Personen-Anzahlen: Denn sie legt die absoluten, sich sehr deutlich unterscheidenden Anzahlen der Infizierten sowie der Nicht-Infizierten fest, auf welche, jeweils mit 100% gleichgesetzt, wiederum jeweils die SE- und SP-Raten rechnerisch Bezug nehmen; die entsprechenden konkreten Resultate schließlich bilden die unabdingliche Grundlage für die Vorhersagewerte.
Ein Beispiel: Mit angenommener Erhöhung der Infektionsrate steigt, bei statischer Richtig-Positiv-Rate, die Anzahl der richtig Positiv-Getesteten proportional, wodurch der stark verwässernde und damit devalidierende Einfluss der Falsch-Positiv-Rate bzw. der sich aus dieser ergebenden Anzahl der falsch Positiv-Getesteten entsprechend sinkt. Dies wiederum führt zwangsläufig zu einem entsprechend höheren positiven Vorhersagewert [s. Settings 1 – 3].

Da aufgrund mangelnder Berichterstattung der deutschsprachigen Qualitätsmedien den meisten Menschen die wesentlichen Unterschiede, zugleich aber auch komplizierten Zusammenhänge zwischen den Gütekriterien und den Vorhersagewerten unklar sein dürften, ist, neben der Einführung des Begriffs ‚Rate‘ als Bezeichnung für die Prozentsätze von SE und SP, für näher Interessierte eine weitere klare Darstellung dieser Unterschiede und Zusammenhänge angezeigt. Die häufige Nennung von SE- und SP-Raten zwischen 95 und 99% legt, ohne weitere Informationen, nämlich nahe, dass derart ‚ausgestattete‘ Tests sehr gute, der gemessenen Realität weitgehend entsprechende Resultate zeitigen, was allerdings, wie aufgezeigt, keinesfalls pauschal zutrifft – schon gar nicht bei Vorliegen einer niedrigen Infektionsrate. Um dies noch besser nachvollziehen zu können, wird hier eine neue Begriffs-Kategorie eingeführt, nämlich die der SE- und SP-bezogenen Anzahlen, die sich aus den [jeweils fixen] SE- und SP-Raten eines verwendeten Tests konkret ergeben:

Hinsichtlich der Gütekriterien, die sich stets auf den infizierten [SE] oder nicht infizierten [SP] Ʃ-TPA beziehen, haben die 4 verwendeten Adjektive folgende Bedeutung:

Vorhersagewerte:
Abbildung der Trefferquoten des verwendeten Tests hins. des realen Gesundheits- bzw. Infektionsstatus der Testpopulation unter Einbeziehung der Infektionsrate

Diese stehen nur dann bereits vor Testung fest bzw. sind nur dann zuvor berechenbar, wenn eine Infektionsrate rein rechnerisch vorgegeben oder durch repräsentative Testungen bereits [annähernd] ermittelt ist, da die Vorhersagewerte von der Infektionsrate, allerdings auch von der Qualität der Gütekriterien, stark abhängig sind [s. Tabellen bzw. Fazits] | Andernfalls kann bei Feststellungsversuchen realer Infektionsgeschehen durch Testungen die jeweils vorhandene Infektionsrate – und können damit die Vorhersagewerte – erst durch die Testung selbst ermittelt werden.

Hinsichtlich der Vorhersagewerte, die sich stets auf die positiven oder negativen Ʃ-Testergebnisse beziehen, haben die 4 verwendeten Adjektive folgende Bedeutungen:

2: Die Summe aus 100% der Infizierten und 100% der Nicht-Infizierten meint hier nicht eine bzw. die Ʃ-Population, nicht einmal eine repräsentative Testpopulation. In Bezug auf die Raten der Test-Gütekriterien gilt hingegen stets: Testpopulation = 100% Infizierte + 100% Nicht-Infizierte [jeweils innerhalb dieser Testpopulation]

Logischerweise sind die bei einem realen Infektionsgeschehen tatsächlich Infizierten bzw. Nicht-Infizierten [beide bestimmen komplementär die Infektionsrate] vor einem etwaigen Krankheitsausbruch [der im Falle des Infektionsgeschehens SARS-CoV-2 zudem eine andere Ursache haben kann als die untersuchte, s. 8.b)] ohne bzw. vor Testung unmöglich individuell identifizierbar [Einzelfälle ausgenommen bei wirklich eindeutiger, jedoch selten vorkommender Symptombildung]; allerdings sind sie auch mit Testung nicht zweifelsfrei identifizierbar – es sei denn, der verwendete Test wiese sowohl eine SE als auch eine SP von je 100% auf, wäre also fehlerfrei, was jedoch so gut wie unerreichbar ist. Aus diesem Grund muss klar zwischen Infizierten und positiv Getesteten unterschieden werden, was oft nicht getan wird.

Die jeweiligen Raten der Gütekriterien beziehen sich auf die jeweilige 100%-Menge = den Ʃ-TPA3 der Infizierten bzw. der Nicht-Infizierten.

Jene 100%-Mengen stehen zunächst also lediglich für abstrakte Anzahlen; sie werden erst konkret mittels
a) einer wie in vorstehenden Berechnungsbeispielen vorgegebenen oder tatsächlichen, für die geplante Testung ausgewählten Testpopulation sowie
b) einer vorgegebenen oder einer durch frühere Testung[en] einer möglichst repräsentativen Anzahl und Auswahl von Testpersonen aus einer Ʃ-Population festgestellten Infektionsrate. Im Falle einer nicht repräsentativen Testpopulation gilt die Rate allerdings nur innerhalb dieser.

3: Ʃ-TPA: Gesamt-Testpopulationsanteil; hierunter ist der TPA aller tatsächlich Infizierten [= 100%] oder der aller tatsächlich Nicht-Infizierten [= 100%] zu verstehen. In absoluten Zahlen
ausgedrückt, entsprechen sich diese selbstverständlich nicht [100% der Infizierten ≠ 100% der Nicht-Infizierten].
Hierbei gilt: Ʃ-TPA der Infizierten + Ʃ-TPA der Nicht-Infizierten = Ʃ-TP der Getesteten [in absoluten Zahlen].

4: IR: Infektionsrate | NIR: Nicht-Infektionsrate

5: Gerade der Begriff der ‚Falsch-Positiv-Quote‘ ist im öffentlichen Diskurs bereits seit Längerem eingeführt; die anderen Begriffe ergeben sich, soweit noch nicht bekannt oder gebräuchlich, sachlogisch.

6: Ohne Berücksichtigung des Richtig-/Falsch-Kriteriums wird jede einzelne Positiv- bzw. Negativ-Anzahl zu den jeweiligen Positiv- bzw. Negativ-Summen ins Verhältnis gesetzt.

Zu weiteren diesbezüglichen Problemen siehe auch Text Grundsätzliche Probleme bei PCR-Tests

Irrtümer vorbehalten.

Jan Veil | Juni 2020 | aktualisiert August 2020

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